Comment prouver la règle du complément en probabilité

C.K.Taylor

Plusieurs théorèmes de probabilité peuvent être déduits de la axiomes de probabilité . Ces théorèmes peuvent être appliqués pour calculer des probabilités que nous pouvons désirer connaître. Un tel résultat est connu sous le nom de règle du complément. Cet énoncé nous permet de calculer la probabilité d'un un événement UN en connaissant la probabilité du complément UN ^C. Après avoir énoncé la règle du complément, nous verrons comment prouver ce résultat.

La règle du complément

Le complément de l'événement UN est désigné par UN ^C. Le complément de UN est le Positionner de tous les éléments de l'ensemble universel, ou espace d'échantillon S, qui ne sont pas des éléments de l'ensemble UN .

La règle du complément s'exprime par l'équation suivante :

P( UN ^C) = 1 – P( UN )

Ici, nous voyons que la probabilité d'un événement et la probabilité de son complément doivent totaliser 1.

Preuve de la règle du complément

Pour prouver la règle du complément, nous commençons par les axiomes de probabilité. Ces déclarations sont supposées sans preuve. Nous verrons qu'ils peuvent être systématiquement utilisés pour prouver notre affirmation concernant la probabilité du complément d'un événement.

• Le premier axiome de probabilité est que la probabilité de tout événement est un nombre non négatif nombre réel .
• Le deuxième axiome de probabilité est que la probabilité de l'ensemble de l'espace échantillon S est une. On écrit symboliquement P( S ) = 1.
• Le troisième axiome de probabilité stipule que Si UN et B sont mutuellement exclusifs (ce qui signifie qu'ils ont une intersection vide), alors nous énonçons la probabilité de la union de ces événements comme P( UN DANS B ) = P( UN ) + P( B ).

Pour la règle du complément, nous n'aurons pas besoin d'utiliser le premier axiome de la liste ci-dessus.

Pour prouver notre affirmation, nous considérons les événements UN et UN ^C. De la théorie des ensembles, nous savons que ces deux ensembles ont une intersection vide. En effet, un élément ne peut pas être simultanément dans les deux UN et non dans UN . Puisqu'il y a une intersection vide, ces deux ensembles sont mutuellement exclusif .

L'union des deux événements UN et UN ^Csont également importants. Ceux-ci constituent des événements exhaustifs, ce qui signifie que les syndicat de ces événements est tout l'espace échantillon S .

Ces faits, combinés aux axiomes, nous donnent l'équation

1 = P( S ) = P( UN DANS UN ^C) = P( UN ) + P( UN ^C).

La première égalité est due au deuxième axiome de probabilité. La deuxième égalité est parce que les événements UN et UN ^Csont exhaustifs. La troisième égalité est due au troisième axiome de probabilité.

L'équation ci-dessus peut être réorganisée sous la forme que nous avons indiquée ci-dessus. Tout ce que nous devons faire est de soustraire la probabilité de UN des deux côtés de l'équation. Ainsi

1 = P( UN ) + P( UN ^C)

devient l'équation

P( UN ^C) = 1 – P( UN ).

Bien sûr, on pourrait aussi exprimer la règle en disant que :

P( UN ) = 1 – P( UN ^C).

Ces trois équations sont des façons équivalentes de dire la même chose. Nous voyons à partir de cette preuve comment seulement deux axiomes et une théorie des ensembles nous aident grandement à prouver de nouvelles déclarations concernant la probabilité.