La fonction génératrice de moment d'une variable aléatoire

Fonction de génération de moment

La fonction génératrice de moment d'une variable aléatoire est définie en termes d'une valeur attendue. C.K.Taylor





Une façon de calculer la moyenne et la variance d'un distribution de probabilité est de trouver le valeurs attendues des variables aléatoires X et X deux. Nous utilisons la notation ET ( X ) et ET ( X deux) pour désigner ces valeurs attendues. En général, il est difficile de calculer ET ( X ) et ET ( X deux) directement. Pour contourner cette difficulté, nous utilisons une théorie mathématique et un calcul plus avancés. Le résultat final est quelque chose qui facilite nos calculs.

La stratégie pour ce problème est de définir une nouvelle fonction, d'une nouvelle variable t c'est ce qu'on appelle la fonction génératrice des moments. Cette fonction nous permet de calculer des moments en prenant simplement des dérivées.



Hypothèses

Avant de définir la fonction génératrice de moment, nous commençons par préparer le terrain avec des notations et des définitions. Nous laissons X être un variable aléatoire discrète . Cette variable aléatoire a la fonction de masse de probabilité F ( X ). L'espace d'échantillonnage avec lequel nous travaillons sera désigné par S .

Plutôt que de calculer la valeur attendue de X , nous voulons calculer la valeur attendue d'une fonction exponentielle liée à X . S'il y a un positif nombre réel r tel que ET ( ettX ) existe et est fini pour tout t dans l'intervalle [- r , r ], alors nous pouvons définir la fonction génératrice de moment de X .



Définition

La fonction génératrice de moment est la valeur attendue de la fonction exponentielle ci-dessus. En d'autres termes, on dit que la fonction génératrice des moments de X est donné par:

M ( t ) = ET ( ettX )

Cette valeur attendue est la formule Σ et tx F ( X ), où la somme est prise sur tous X dans le espace d'échantillon S . Il peut s'agir d'une somme finie ou infinie, selon l'espace échantillon utilisé.

Propriétés

La fonction de génération de moment a de nombreuses fonctionnalités qui se connectent à d'autres sujets en probabilité et en statistiques mathématiques. Certaines de ses caractéristiques les plus importantes incluent :



  • Le coefficient de ettuberculose est la probabilité que X = b .
  • Les fonctions génératrices de moments possèdent une propriété d'unicité. Si les fonctions génératrices de moment pour deux variables aléatoires correspondent, alors les fonctions de masse de probabilité doivent être les mêmes. En d'autres termes, les variables aléatoires décrivent la même distribution de probabilité.
  • Les fonctions génératrices de moment peuvent être utilisées pour calculer les moments de X .

Calcul des moments

Le dernier élément de la liste ci-dessus explique le nom des fonctions génératrices de moment ainsi que leur utilité. Certaines mathématiques avancées disent que dans les conditions que nous avons énoncées, la dérivée de tout ordre de la fonction M ( t ) existe pour quand t = 0. De plus, dans ce cas, nous pouvons changer l'ordre de sommation et de différenciation par rapport à t pour obtenir les formules suivantes (toutes les sommations sont sur les valeurs de X dans l'espace échantillon S ):

  • M '( t ) = S autotx F ( X )
  • M ''( t ) = S Xdeuxettx F ( X )
  • M '''( t ) = S X3ettx F ( X )
  • M (n)'( t ) = S Xnettx F ( X )

Si nous fixons t = 0 dans les formules ci-dessus, alors le ettx terme devient et 0= 1. Ainsi, nous obtenons des formules pour les moments de la variable aléatoire X :



  • M '(0) = ET ( X )
  • M ''(0) = ET ( X deux)
  • M '''(0) = ET ( X 3)
  • M ( n )(0) = ET ( Xn )

Cela signifie que si la fonction génératrice de moment existe pour une variable aléatoire particulière, alors nous pouvons trouver sa moyenne et sa variance en termes de dérivées de la fonction génératrice de moment. La moyenne est M ’(0), et la variance est M ’’(0) – [ M '(0)]deux.

Sommaire

En résumé, nous avons dû patauger dans des mathématiques assez puissantes, donc certaines choses ont été passées sous silence. Bien que nous devions utiliser le calcul pour ce qui précède, en fin de compte, notre travail mathématique est généralement plus facile qu'en calculant les moments directement à partir de la définition.