Probabilités de lancer deux dés

Deux dés tenus dans une main, image en gros plan.

Images tétra/Getty Images





Une façon populaire d'étudier la probabilité est de lancer des dés. Un dé standard a six faces imprimées avec des petits points numérotés 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Si le dé est juste (et nous allons présumer qu'ils le sont tous), alors chacun de ces résultats est également probable. Puisqu'il y a six résultats possibles, la probabilité d'obtenir n'importe quel côté du dé est de 1/6. La probabilité d'obtenir un 1 est de 1/6, la probabilité d'obtenir un 2 est de 1/6, et ainsi de suite. Mais que se passe-t-il si nous ajoutons un autre dé ? Quelles sont les probabilités de lancer deux dés ?

Probabilité du lancer de dés

Pour déterminer correctement la probabilité d'un lancer de dé, nous devons savoir deux choses :



  • La taille du espace d'échantillon ou l'ensemble des résultats possibles totaux
  • Combien de fois un événement se produit

Dans probabilité , un événement est un certain sous-ensemble de l'espace échantillon. Par exemple, lorsqu'un seul dé est lancé, comme dans l'exemple ci-dessus, l'espace échantillon est égal à toutes les valeurs du dé, ou à l'ensemble (1, 2, 3, 4, 5, 6). Comme le dé est juste, chaque numéro de l'ensemble n'apparaît qu'une seule fois. En d'autres termes, la fréquence de chaque nombre est 1. Pour déterminer la probabilité de lancer l'un des nombres sur le dé, nous divisons la fréquence de l'événement (1) par la taille de l'espace échantillon (6), ce qui donne une probabilité de 1/6.

Lancer deux dés équitables fait plus que doubler la difficulté de calculer les probabilités. C'est parce que lancer un dé est indépendant du lancer d'un second. Un lancer n'a aucun effet sur l'autre. Lorsqu'il s'agit d'événements indépendants, nous utilisons le règle de multiplication . L'utilisation d'un diagramme en arbre démontre qu'il y a 6 x 6 = 36 résultats possibles en lançant deux dés.



Supposons que le premier dé que nous lançons donne un 1. L'autre jet de dé pourrait être un 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Supposons maintenant que le premier dé soit un 2. L'autre jet de dé pourrait encore être un a 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Nous avons déjà trouvé 12 résultats potentiels, et n'avons pas encore épuisé toutes les possibilités du premier dé.

Table de probabilité de lancer deux dés

Les résultats possibles du lancer de deux dés sont représentés dans le tableau ci-dessous. Notez que le nombre total de résultats possibles est égal à l'espace d'échantillonnage du premier dé (6) multiplié par l'espace échantillon de la seconde matrice (6), qui est de 36.

1 deux 3 4 5 6
1 (Onze) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (quinze) (1, 6)
deux (vingt-et-un) (2, 2) (23) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3. 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (Quatre cinq) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Trois dés ou plus

Le même principe s'applique si nous travaillons sur problèmes impliquant trois dés . Nous multiplions et voyons qu'il y a 6 x 6 x 6 = 216 résultats possibles. Comme il devient fastidieux d'écrire la multiplication répétée, nous pouvons utiliser des exposants pour simplifier le travail. Pour deux dés, il y a 6deuxrésultats possibles. Pour trois dés, il y a 63résultats possibles. En général, si on roule n dés, alors il y a un total de 6 n résultats possibles.

Exemples de problèmes

Avec cette connaissance, nous pouvons résoudre toutes sortes de problèmes de probabilité :



1. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit sept ?

La façon la plus simple de résoudre ce problème est de consulter le tableau ci-dessus. Vous remarquerez que dans chaque rangée, il y a un lancer de dés où la somme des deux dés est égale à sept. Puisqu'il y a six lignes, il y a six résultats possibles où la somme des deux dés est égale à sept. Le nombre total de résultats possibles reste 36. Encore une fois, nous trouvons la probabilité en divisant la fréquence de l'événement (6) par la taille de l'espace échantillon (36), ce qui donne une probabilité de 1/6.



2. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés est trois ?

Dans le problème précédent, vous avez peut-être remarqué que les cellules où la somme des deux dés est égale à sept forment une diagonale. La même chose est vraie ici, sauf que dans ce cas, il n'y a que deux cellules où la somme des dés est de trois. C'est parce qu'il n'y a que deux façons d'obtenir ce résultat. Vous devez obtenir un 1 et un 2 ou vous devez obtenir un 2 et un 1. Les combinaisons pour obtenir une somme de sept sont beaucoup plus grandes (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, etc.). Pour trouver la probabilité que la somme des deux dés soit de trois, nous pouvons diviser la fréquence de l'événement (2) par la taille de l'espace échantillon (36), ce qui donne une probabilité de 1/18.



3. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que le Nombres sur les dés sont différents?

Là encore, on peut facilement résoudre ce problème en consultant le tableau ci-dessus. Vous remarquerez que les cellules où les nombres sur les dés sont les mêmes forment une diagonale. Il n'y en a que six, et une fois que nous les avons barrés, nous avons les cellules restantes dans lesquelles les nombres sur les dés sont différents. Nous pouvons prendre le nombre de combinaisons (30) et le diviser par la taille de l'espace d'échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 5/6.