Les problèmes fondateurs de la philosophie des mathématiques

Les questions les plus simples de la philosophie des mathématiques renvoient à des problèmes profonds : pourquoi 1+1 = 2 ? Pourquoi l'énoncé '1+1 = 2' se sentir si différent d'une affirmation comme 'il a plu hier' ? D'ailleurs, qu'entend-on même par « 1 », « 2 », … ? Le « 1 » existe-t-il ? Si c'est le cas, comment et où? Ces questions sont à la disposition des philosophes depuis que les mathématiques sont pratiquées. Elles sont, comme tant de questions philosophiques, très générales et très difficiles à répondre - pour donner un sens réel à des déclarations comme '1 + 1 = 2', il semble qu'il faille beaucoup de machinerie philosophique, comme ce fut le cas avec incursions pré-modernes dans la philosophie des mathématiques. De Platon, à Leibniz, à Kant, les réponses aux questions ci-dessus ont conduit à et ont fait partie d'un système plus vaste : la philosophie des mathématiques.

La philosophie des mathématiques : des questions les plus simples aux plus complexes

Les mathématiques et la philosophie ont énormément changé en peu de temps. De vieilles préoccupations guident toujours l'enquête : les philosophes des mathématiques doivent déterminer quel type d'existence est accordé à des objets tels que '1' et 'cercle', et quel type de vérité à des énoncés tels que '1 + 1 = 2'. Mais les mathématiques modernes posent aux philosophes des questions nouvelles et troublantes et désignent des objets dont la nature est encore plus difficile à cerner. Ces questions ont suscité des réponses si variées et apparemment incompatibles que la philosophie des mathématiques peut apparaître comme un sport étrange dans lequel on choisit un camp et on le défend religieusement contre tous les autres. Il est important de noter qu'il y a tellement de « côtés » qu'il serait impossible d'espérer les couvrir tous dans une introduction aussi brève que celle que vous lisez actuellement.

Cela ne veut nullement dire que la philosophie des mathématiques souffre d'une plus grande multiplicité d'opinions que les autres domaines de la philosophie. Cependant, pour appréhender la délicate tâche de penser philosophiquement les mathématiques, mieux vaut ne pas perdre de vue les préoccupations mathématiques qui se cachent derrière ces différentes écoles. Une caractéristique curieuse de la philosophie des mathématiques est la tendance des mathématiques authentiques, et pas seulement de la philosophie, à germer de la recherche philosophique, et également des progrès mathématiques à trébucher sur des problèmes fondamentaux profonds. La philosophie des mathématiques d'une part, et la métamathématique (l'étude des fondements des mathématiques à l'aide de techniques mathématiques) d'autre part, sont assez directement liées historiquement, et chacune est devenue de plus en plus importante l'une pour l'autre.

David Hilbert : Un grand projet en (la philosophie des) mathématiques

Jetons un coup d'œil à un arc historique qui touche à de nombreuses questions clés de la philosophie des mathématiques, un microcosme de l'interaction entre la philosophie pure et les mathématiques pures : le projet du mathématicien David Hilbert, et en particulier sa dispute avec un autre penseur influent , L.E.J. Brouwer. Alors que les mathématiques pures ont mûri au 19ème siècle et se sont heurtées à des notions de plus en plus abstraites et non intuitives, les mathématiciens et les philosophes ont clairement vu la nécessité d'examiner sérieusement les fondements du sujet. Parmi eux se trouvait Hilbert, un acteur central dans la volonté de jeter les bases d'un sujet logique et solide en termes pratiques. Il espérait traduire l'idée que les mathématiques sont une science parfaite et rationnelle, partagée par tant de philosophes, en quelque chose de concret.

La pensée de Hilbert était motivée par ce qui était à son époque des développements profondément modernes en mathématiques. En particulier, il voulait donner un foyer permanent en mathématiques aux transfini . Le travail de Bolzano et Chantre en théorie des ensembles (un ensemble n'étant naïvement qu'une collection de choses organisées sous une étiquette) a traité sérieusement et rigoureusement l'idée de l'infini réel ; c'est-à-dire que des objets infinis se voient accorder une existence propre. Par exemple, l'ensemble de tout entiers {1, 2, …} en tant qu'objet à part entière est un infini réel ; d'autre part, en ne traitant que de nombres arbitrairement grands, on n'a besoin que de la notion de potentiel infini, qui était dans la boîte à outils ontologique des mathématiciens depuis des siècles. Les philosophes de toutes les époques avaient fait cette distinction – la notion même d'infini réel n'était pas nouvelle. Néanmoins, Cantor a tiré ses implications dans la théorie des ensembles pour la première fois. La clé était une façon simple de repenser la notion de nombre.

Ensembles, comptage et infini

Notre idée quotidienne de la taille d'un ensemble se réduit à un simple comptage : étant donné deux collections de choses, nous pouvons savoir si elles ont ou non la même taille en comptant les choses dans chaque collection et en comparant les réponses - j'ai trois pommes, vous avez trois bananes. Cantor a approfondi la notion de 'avoir la même taille que' et a abstrait la notion de correspondance en tête à tête: les ensembles ont la même taille les uns que les autres si l'on peut jumeler leurs éléments – si à chacune de vos bananes je peux attribuer précisément une de mes pommes. Mais, avec cette simple abstraction, nous obtenons, gratuitement, un moyen de parler de la 'taille' des ensembles infinis : nous pouvons appeler deux collections infinies la même taille si nous pouvons les mettre dans une telle correspondance biunivoque. Il s'avère qu'il existe des ensembles infinis qui ne peuvent pas être liés un à un de cette manière. Il arrive, par exemple, qu'il y ait 'plus' nombres réels (c'est-à-dire toute la droite numérique - nombres décimaux infinis et tous) que les nombres entiers, bien que les deux collections soient infinies.

Théorème de Cantor : Infinis infinis

Ça devient plus bizarre - Théorème de Cantor nous dit, en substance, qu'il y a beaucoup d'infinis différents : infiniment nombreux, en fait, et étant donné toute collection infinie, il y en a toujours une plus grande. Cette nouvelle façon d'aborder la notion de nombre a conduit à l'étude de cardinaux, qui sont en quelque sorte une extension radicale du comptage qui nous permet de parler de toutes sortes d'infinis réels.

Ces phénomènes étranges conduisent de nombreux mathématiciens de premier plan à repousser avec force ce nouvel infini réel, comme Henri Poincaré, qui a déclaré que 'Il n'y a pas d'infini réel, les cantoriens l'ont oublié et ils sont tombés dans la contradiction'. Les idées de Cantor, bien que maintenant presque omniprésentes en mathématiques, n'étaient pas du tout populaires au départ.

Mais pour certains – parmi eux Hilbert – cette rupture avec le fini était une grande victoire pour le libre développement des mathématiques. Pour Hilbert, la solidité mathématique de l'infini de Cantor était une question d'une grande importance esthétique, comme on peut le comprendre à partir de sa citation notoire : « F du paradis que Cantor a créé pour nous, personne ne pourra nous expulser ”.

Réalisme mathématique contre formalisme mathématique

Les différences de perspectives en philosophie des mathématiques peuvent être en partie calibrées par les attitudes envers ces nouveaux infinis. Le point de vue de Hilbert le met carrément en opposition avec un autre penseur éminent, L. E. J. Brouwer, ce qui conduit à une infâme rivalité philosophique.

Hilbert considérait les mathématiques comme une sorte de jeu, traitant uniquement de la manipulation de symboles selon certaines règles, une vision connue sous le nom de formalisme . Ce point de vue n'interdit pas nécessairement les interprétations de ce « jeu de formules » comme connecté de telle ou telle manière à la réalité, mais, dans sa forme de base, il nécessite plutôt moins d'engagement envers les « entités » mathématiques problématiques que les formes plus anciennes de réalisme mathématique , tel que platonisme (la vue datant, naturellement, de Plat , qui soutient que les objets mathématiques comme « 1 » et « cercle » existent réellement en tant qu'objets persistants d'une manière indépendante de nous et de notre compréhension d'eux). Brouwer comprenait les mathématiques d'une troisième manière radicalement différente de ces deux perspectives.

L'un des théorèmes les plus connus de Hilbert, et le noyau d'un point de désaccord profond entre lui et Brouwer, est son soi-disant Théorème de base . Les détails les plus fins ne sont pas pertinents : ce qui était intéressant pour les philosophes, et répréhensible pour Brouwer, c'était la manière dont Hilbert l'a prouvé. Le théorème de base de Hilbert est un théorème d'existence – il prend la forme ‘ il y a au moins un X'. Les mathématiciens, lorsqu'ils sont chargés de montrer qu''il existe au moins un X', peuvent adopter l'une des deux approches suivantes : ils doivent soit montrer comment trouver un tel X, soit montrer qu'il est impossible qu'il n'y a pas de tel X. Les preuves du premier type sont appelées constructif , et les preuves du second type sont appelées non constructif. La preuve de Hilbert du théorème de base n'était pas constructive. Brouwer s'en est pris : il a fondé et défendu avec passion une approche de la philosophie mathématique connue sous le nom de intuitionnisme .

Intuitionnisme et constructivisme

L'intuitionniste refuse de considérer les objets mathématiques comme des choses qui n'ont pas été construites par l'activité de l'esprit. Pour Brouwer, les techniques de preuve non constructives du type utilisé par Hilbert étaient sérieusement problématiques. L'école plus large de philosophie mathématique qui rejette ces preuves non constructives est connue sous le nom de constructivisme . Les constructivistes rejettent fréquemment l'existence de l'infini réel en mathématiques, qui, en tant que point de vue indépendant, est connu sous le nom de finitisme (avec son cousin plutôt marginal, ultrafinitisme , qui rejette même les objets finis qui sont 'trop ​​grands pour être raisonnablement construits'). Hilbert et Brouwer offraient ainsi non seulement des perspectives différentes sur la réalité et la validité des objets mathématiques, mais aussi des manières radicalement différentes de faire des mathématiques.

Les deux ont engendré de nouvelles études dans la logique mathématique elle-même : logique intuitionniste étudie les systèmes logiques sans la loi du tiers exclu et est à ce jour un domaine de recherche actif. Plus notoirement, cependant, la première approche formaliste de Hilbert avait pour objectif optimiste la création d'un système axiomatique (les axiomes étant des énoncés initiaux toujours supposés vrais) à partir duquel toutes les mathématiques pourraient être dérivées, et qui était lui-même exempt de contradictions. Ces notions – respectivement appelées complétude et cohérence en logique mathématique - les deux semblaient être des choses parfaitement sensées à demander à vos fondations mathématiques choisies.

En 1900, Hilbert a publié une liste de 23 problèmes qu'il considérait comme étant à la pointe des mathématiques alors contemporaines. Le deuxième sur la liste était de montrer que ses axiomes d'arithmétique étaient cohérents. Ce système d'axiomes offrait les structures arithmétiques de base habituelles que nous connaissons – nombres, addition, soustraction, etc. – et, espérait-on, était également suffisamment puissant pour formaliser le reste des mathématiques.

Théorème d'incomplétude de Gödel : Trouble in Paradise

Les deux théorèmes d'incomplétude désormais tristement célèbres de Kurt Gödel ont mis fin aux interprétations les plus optimistes du projet de Hilbert en montrant que Non système d'axiomes contenant de l'arithmétique peut prouver sa propre cohérence. Ce sont des théorèmes logiques précis et subtils et les philosophes ont été prudents dans l'examen de leurs conséquences pour le réalisme mathématique (Gödel lui-même était encore un platonicien engagé).

Bien que le programme de Hilbert n'était pas nécessairement à un arrêt complet après Gödel, les théorèmes ont été un moment décisif pour la logique mathématique - et ont fait l'objet de discussions philosophiques sans fin depuis. L'approche de Hilbert n'était ni le premier ni le dernier mot sur les fondements axiomatiques des mathématiques. De nombreux grands projets existaient.

Frege, et plus tard Russell, ont dirigé le logiciste approche, qui visait à réduire les théorèmes mathématiques à des propositions de logique. Russell a découvert un problème sérieux dans l'approche de Frege - l'un de ses axiomes, qui devait permettre la création d'un ensemble en invoquant l'ensemble de toutes les choses satisfaisant une propriété donnée, est tombé à l'encontre d'une contradiction, maintenant connue sous le nom de Paradoxe de Russel : que l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes, une entité non-sens, est autorisé par cette loi. À leur tour, les théorèmes de Gödel semblaient freiner les propres ambitions logicistes de Russell, et les mathématiciens se tournèrent vers des approches moins ambitieuses. Frege et Russell faisaient eux-mêmes partie intégrante du développement précoce de Ludwig Wittgenstein , dont le travail a un large éventail d'autres implications pour la philosophie des mathématiques, y compris le statut de la logique et leur relation avec le langage naturel.

Vieilles questions, nouvelles questions : l'avenir de la philosophie des mathématiques

Finalement, une solution de travail au problème de l'axiomatisation de la théorie des ensembles a été trouvée sous la forme des axiomes de Zermelo-Fraenkel (avec l'axiome de choix, historiquement controversé si moins aujourd'hui)... En termes pratiques, cette ontologie - qui ne contient que un objet, un Positionner , à partir duquel tout est construit - est le 'par défaut' pour les mathématiciens de nos jours (mais en aucun cas le seul choix).

La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel se trouve tout au long du chemin de la spéculation philosophique à la connaissance mathématique concrète - elle est maintenant elle-même un objet mathématique étudié par les logiciens. Mais tout comme la notion de Cantor de Positionner a remis en question la façon dont les philosophes pensent les mathématiques, de sorte que de nouvelles abstractions commencent à faire de même, à mesure que de nouvelles approches fondamentales vont et viennent. Non seulement les vieilles questions sont encore fraîches, mais de nouvelles questions émergent des nouvelles idées en mathématiques, ne manquant jamais d'occuper les philosophes, à mesure que l'interaction entre la philosophie et les mathématiques s'approfondit.