Cinématique bidimensionnelle ou mouvement dans un plan

La cinématique bidimensionnelle peut être utilisée pour décrire le mouvement dans un avion, comme lancer un ballon de football.

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Cet article décrit les concepts fondamentaux nécessaires pour analyser le mouvement des objets en deux dimensions, sans tenir compte des forces qui provoquent l'accélération impliquée. Un exemple de ce type de problème serait de lancer une balle ou de tirer un boulet de canon. Cela suppose une familiarité avec cinématique unidimensionnelle , car il développe les mêmes concepts dans un espace vectoriel à deux dimensions.

Choix des coordonnées

La cinématique implique le déplacement, la vitesse et l'accélération qui sont tous grandeurs vectorielles qui nécessitent à la fois une grandeur et une direction. Par conséquent, pour commencer un problème en cinématique bidimensionnelle, vous devez d'abord définir le système de coordonnées vous utilisez. En général, ce sera en termes de X -axe et un Oui -axe, orienté de sorte que le mouvement soit dans le sens positif, bien qu'il puisse y avoir des circonstances où ce n'est pas la meilleure méthode.



Dans les cas où la gravité est considérée, il est d'usage de faire la direction de la gravité dans le négatif- Oui direction. Il s'agit d'une convention qui simplifie généralement le problème, bien qu'il soit possible d'effectuer les calculs avec une orientation différente si vous le souhaitez vraiment.

Vecteur de vitesse

Le vecteur position r est un vecteur qui va de l'origine du système de coordonnées à un point donné du système. Le changement de position (Δ r , prononcé 'Delta r ') est la différence entre le point de départ ( r 1) au point de terminaison ( r deux). Nous définissons le vitesse moyenne ( dans de ) comme:



dans de = ( r deux- r 1) / ( t deux- t 1) = D r /RÉ t

En prenant la limite comme Δ t s'approche de 0, on atteint le vélocité instantanée dans . En termes de calcul, c'est la dérivée de r en ce qui concerne t , ou r / dt .

Au fur et à mesure que la différence de temps diminue, les points de début et de fin se rapprochent. Depuis la direction de r est dans le même sens que dans , il devient clair que le vecteur vitesse instantanée en chaque point du chemin est tangent au chemin .

Composants de vitesse

Le trait utile des quantités vectorielles est qu'elles peuvent être décomposées en leurs vecteurs composants. La dérivée d'un vecteur est la somme de ses dérivées composantes, donc :

dansX = dx / dt
dansOui = tu / dt

La grandeur du vecteur vitesse est donnée par le théorème de Pythagore sous la forme :



| dans | = dans = carré ( dansX deux+ dansOui deux)

La direction de dans est orienté alpha degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du X -composant, et peut être calculé à partir de l'équation suivante :

alors alpha = dansOui / dansX

Vecteur d'accélération

Accélération est le changement de vitesse sur une période de temps donnée. Semblable à l'analyse ci-dessus, nous constatons que c'est Δ dans /RÉ t . La limite de ceci comme Δ t s'approche de 0 donne la dérivée de dans en ce qui concerne t .



En termes de composants, le vecteur d'accélération peut s'écrire :

unX = DVX / dt
unOui = DVOui / dt

ou



unX = deux X / dt deux
unOui = deux Oui / dt deux

La magnitude et l'angle (désignés par bêta distinguer de alpha ) du vecteur d'accélération nette sont calculés avec des composantes similaires à celles de la vitesse.

Travailler avec des composants

Souvent, la cinématique bidimensionnelle consiste à décomposer les vecteurs pertinents en leurs X - et Oui -composants, puis en analysant chacun des composants comme s'il s'agissait de cas unidimensionnels. Une fois cette analyse terminée, les composantes de vitesse et/ou d'accélération sont alors recombinées pour obtenir les vecteurs de vitesse et/ou d'accélération bidimensionnels résultants.



Cinématique tridimensionnelle

Les équations ci-dessus peuvent toutes être développées pour le mouvement en trois dimensions en ajoutant un Avec -composant à l'analyse. Ceci est généralement assez intuitif, bien qu'il faille veiller à ce que cela soit fait dans le bon format, en particulier en ce qui concerne le calcul de l'angle d'orientation du vecteur.

Édité parAnne Marie Helmenstine, Ph.D.