Calcul de la probabilité de choisir au hasard un nombre premier

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La théorie des nombres est une branche de mathématiques qui s'intéresse à l'ensemble des nombres entiers. Nous nous limitons quelque peu en faisant cela car nous n'étudions pas directement d'autres nombres, tels que les irrationnels. Cependant, d'autres types de nombres réels sont utilisés. En plus de cela, le sujet de la probabilité a de nombreux liens et intersections avec la théorie des nombres. L'un de ces liens concerne la distribution des nombres premiers. Plus précisément, nous pouvons demander quelle est la probabilité qu'un entier choisi au hasard entre 1 et X est un nombre premier ?

Hypothèses et définitions

Comme pour tout problème mathématique, il est important de comprendre non seulement quelles hypothèses sont faites, mais aussi les définitions de tous les termes clés du problème. Pour ce problème, nous considérons les entiers positifs, c'est-à-dire les nombres entiers 1, 2, 3, . . . jusqu'à un certain nombre X . Nous choisissons au hasard l'un de ces nombres, ce qui signifie que tous X d'entre eux sont également susceptibles d'être choisis.

Nous essayons de déterminer la probabilité qu'un nombre premier soit choisi. Il faut donc comprendre la définition d'un nombre premier. Un nombre premier est un entier positif qui a exactement deux diviseurs. Cela signifie que les seuls diviseurs des nombres premiers sont un et le nombre lui-même. Donc 2,3 et 5 sont premiers, mais 4, 8 et 12 ne sont pas premiers. Nous notons que parce qu'il doit y avoir deux facteurs dans un nombre premier, le nombre 1 est ne pas prime.

Solution pour les petits nombres

La solution à ce problème est simple pour les petits nombres X . Il suffit de compter le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à X . On divise le nombre de nombres premiers inférieur ou égal à X par le nombre X .

Par exemple, pour trouver la probabilité qu'un nombre premier soit sélectionné de 1 à 10, nous devons diviser le nombre de nombres premiers de 1 à 10 par 10. Les nombres 2, 3, 5, 7 sont premiers, donc la probabilité qu'un nombre premier soit sélectionné est 4/10 = 40 %.

La probabilité qu'un nombre premier soit sélectionné entre 1 et 50 peut être trouvée de la même manière. Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Il existe 15 nombres premiers inférieurs ou égaux à 50. Ainsi, la probabilité qu'un nombre premier soit sélectionné au hasard est de 15/50 = 30 %.

Ce processus peut être effectué en comptant simplement les nombres premiers tant que nous avons une liste de nombres premiers. Par exemple, il y a 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100. (Ainsi, la probabilité qu'un nombre choisi au hasard entre 1 et 100 soit premier est de 25/100 = 25 %.) Cependant, si nous n'avons pas de liste de nombres premiers, il peut être difficile de déterminer l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre donné X .

Le théorème des nombres premiers

Si vous ne comptez pas le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à X , alors il existe une autre façon de résoudre ce problème. La solution implique un résultat mathématique connu sous le nom de théorème des nombres premiers. Ceci est une déclaration sur la distribution globale des nombres premiers et peut être utilisée pour approximer la probabilité que nous essayons de déterminer.

Le théorème des nombres premiers stipule qu'il y a environ X / ln( X ) nombres premiers inférieurs ou égaux à X . Ici ln( X ) désigne le logarithme naturel de X , ou autrement dit le logarithme de base le nombre et . Comme la valeur de X augmente l'approximation s'améliore, dans le sens où l'on constate une diminution de l'erreur relative entre le nombre de nombres premiers inférieur à X et l'expression X / ln( X ).

Application du théorème des nombres premiers

Nous pouvons utiliser le résultat du théorème des nombres premiers pour résoudre le problème que nous essayons de résoudre. On sait par le théorème des nombres premiers qu'il y a environ X / ln( X ) nombres premiers inférieurs ou égaux à X . De plus, il existe au total X entiers positifs inférieurs ou égaux à X . Par conséquent, la probabilité qu'un nombre choisi au hasard dans cette plage soit premier est ( X / ln( X ) ) / X = 1 / ln( X ).

Exemple

Nous pouvons maintenant utiliser ce résultat pour approximer la probabilité de sélectionner au hasard un nombre premier parmi le premier milliard entiers. Nous calculons le logarithme népérien d'un milliard et voyons que ln(1 000 000 000) est d'environ 20,7 et 1/ln(1 000 000 000) est d'environ 0,0483. Ainsi, nous avons environ 4,83 % de probabilité de choisir au hasard un nombre premier parmi les premiers milliards d'entiers.