Faits sur le nombre e : 2.7182818284590452...

C.K.Taylor

Si vous demandiez à quelqu'un de nommer sa constante mathématique préférée, vous obtiendriez probablement des regards interrogateurs. Au bout d'un moment, quelqu'un peut se porter volontaire pour que le la meilleure constante est pi . Mais ce n'est pas la seule constante mathématique importante. Un deuxième proche, sinon un prétendant à la couronne de la constante la plus omniprésente est et . Ce nombre apparaît dans le calcul, la théorie des nombres, la probabilité et statistiques . Nous examinerons certaines des caractéristiques de ce nombre remarquable et verrons quels liens il a avec les statistiques et les probabilités.

Valeur de et

Comme pi, et est un irrationnel nombre réel . Cela signifie qu'il ne peut pas être écrit sous forme de fraction et que son expansion décimale se poursuit indéfiniment sans bloc de nombres répétitif qui se répète continuellement. Le nombre et est également transcendantal, ce qui signifie qu'il n'est pas la racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels. Les cinquante premières décimales de sont données par et = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Définition de et

Le nombre et a été découvert par des personnes curieuses des intérêts composés. Dans cette forme d'intérêt, le principal rapporte des intérêts, puis les intérêts générés rapportent des intérêts sur eux-mêmes. Il a été observé que plus la fréquence des périodes de capitalisation par an est élevée, plus le montant des intérêts générés est élevé. Par exemple, nous pourrions considérer que les intérêts sont composés :

• Annuellement, ou une fois par an
• Semestrielle, ou deux fois par an
• Mensuel ou 12 fois par an
• Tous les jours, ou 365 fois par an

Le montant total des intérêts augmente pour chacun de ces cas.

Une question s'est posée quant à savoir combien d'argent pourrait éventuellement être gagné en intérêts. Pour tenter de gagner encore plus d'argent, nous pourrions, en théorie, augmenter le nombre de périodes de capitalisation jusqu'à un nombre aussi élevé que nous le voulions. Le résultat final de cette augmentation est que nous considérerions que l'intérêt est composé de façon continue.

Alors que l'intérêt généré augmente, il le fait très lentement. Le montant total d'argent sur le compte se stabilise en fait, et la valeur à laquelle cela se stabilise est et . Pour exprimer cela à l'aide d'une formule mathématique, nous disons que la limite telle que n augmentations de (1+1/ n ) ⁿ = et .

Utilisations de et

Le nombre et apparaît tout au long des mathématiques. Voici quelques-uns des endroits où il fait une apparition :

• C'est la base du logarithme naturel. Depuis que Napier a inventé les logarithmes, et est parfois appelée constante de Napier.
• En calcul, la fonction exponentielle et^X a la propriété unique d'être son propre dérivé.
• Expressions impliquant et^X et et^-X se combinent pour former les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique.
• Grâce aux travaux d'Euler, nous savons que les constantes fondamentales des mathématiques sont liées entre elles par la formule et^iΠ +1=0, où je est le nombre imaginaire qui est la racine carrée de moins un.
• Le nombre et apparaît dans diverses formules à travers les mathématiques, en particulier dans le domaine de la théorie des nombres.

La valeur et en statistiques

L'importance du nombre et ne se limite pas à quelques domaines des mathématiques. Il existe également plusieurs utilisations du nombre et dans les statistiques et les probabilités. Quelques-uns d'entre eux sont les suivants :

• Le nombre et fait une apparition dans le formule de la fonction gamma .
• Les formules pour le distribution normale standard implique et à une puissance négative. Cette formule inclut également pi.
• De nombreuses autres distributions impliquent l'utilisation du nombre et . Par exemple, les formules pour la distribution t, la distribution gamma et la distribution chi carré contiennent toutes le nombre et .